'백만 가지 버거와 토핑 조합'을 자랑하는 광고는 우스꽝스러워 보였습니다. 사실, 과소평가입니다.
드디어 로가리즘 ( 신속한 계산을 목적으로 만든 대수표 )에 대한 저의 이해가 빛을 발합니다.
지난주 오헤어 공항을 지나가다가 새로운 레스토랑이 곧 문을 연다는 간판을 보았습니다. 광고에는 "백만 가지 버거와 토핑 조합"이라는 문구가 적혀 있었습니다. 터무니없는 과장처럼 보였지만 제 수학적 두뇌가 작동했습니다.
주어진 토핑 목록에서 조합할 수 있는 토핑의 수는 기하급수적으로 계산됩니다. 각 토핑에 대해 "예" 또는 "아니오"를 선택할 수 있으므로 첫 번째 토핑에는 두 가지, 두 번째 토핑에는 두 가지, 세 번째 토핑에는 두 가지 등의 옵션이 있습니다. 가능한 조합의 총 수를 찾으려면 이 두 가지를 모두 곱하면 됩니다. 가능한 토핑이 5개라면 5의 거듭제곱인 2를 5번 곱합니다. 가능한 토핑이 n개라면 2n을 구합니다. 토핑의 수가 증가함에 따라 조합의 수는 기하급수적으로 증가합니다.
이 광고를 이해하려면 메뉴에 몇 개의 토핑이 있어야 가능한 조합이 백만 개가 될까요? 이는 지수의 반대 개념으로, 백만 개를 얻기 위해 두 개를 올리려면 어떤 힘을 가져야 하는지를 묻는 것입니다. 이를 알아내는 한 가지 방법은 2를 계속 곱하고 백만 개가 될 때까지 몇 번이나 곱하는지 세는 것이지만, 저는 머리로 계산할 만큼 산술에 능숙하지 않기 때문에 대신 휴대폰 계산기를 꺼내서 대수를 계산해 보았습니다.
대수는 지수의 "역" 과정으로, 다음과 같이 정의됩니다: "기저 2에서" 로그를 취하면 2n을 백만 개로 만들기 위해 어떤 n을 사용해야 하는지 알 수 있습니다. 그 결과 최소 백만 개의 조합을 만들려면 20개의 토핑이 필요하다는 답이 나왔습니다. 일상 생활에서 로그를 사용해 본 것은 이번이 처음인 것 같습니다.
이 계산에서는 토핑 목록에서 가능한 조합의 수를 세고 있습니다. 이는 모든 토핑이 있지만 토핑이 추가되는 순서가 바뀌는 순열을 세는 것과는 다릅니다. 달걀이 베이컨 위에 올라갈지 아니면 그 반대일지 궁금할 수도 있습니다. 어떤 방식으로 세든 그 원리는 사물을 세는 것과 관련된 수학적 분야인 조합론에서 비롯된 것입니다. 사물을 하나씩 열거하여 세기에는 너무 많은 경우 수학자는 논리를 사용하여 얼마나 많은 수가 있어야 하는지 파악합니다.
20가지의 햄버거 토핑이 있는 메뉴는 방대해 보였지만 전혀 불가능하지는 않았습니다. 계산을 마친 후 레스토랑의 메뉴를 살펴보니 가능한 토핑이 21개라는 것을 알 수 있었습니다. 게다가 버거 패티, 치즈, 스파이스 블렌드, 번 등 다양한 종류의 버거가 있습니다. 이러한 가능성을 고려할 때, 저는 실제로 메뉴에 210억 개 이상의 버거 조합, 즉 추가 치즈와 21가지 토핑이 모두 포함된 더블 패티가 실제로 가능하다고 가정했을 때 210억 가지가 넘는 버거 조합이 있다고 생각합니다.
광고에서 가능한 햄버거 조합의 수를 과소평가하는 것이 이상하게 보일 수도 있지만, 조합학에 대한 이해가 없는 사람에게는 210억 개라는 숫자가 너무 믿기지 않을 수도 있습니다.
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